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系統識別號 U0026-2712201822200700
論文名稱(中文) 橢圓曲線的Weil猜想及其zeta函數
論文名稱(英文) The Zeta Function and Weil Conjecture for Elliptic Curves
校院名稱 成功大學
系所名稱(中) 數學系應用數學碩博士班
系所名稱(英) Department of Mathematics
學年度 107
學期 1
出版年 107
研究生(中文) 張綺容
研究生(英文) Chi-Jung Chang
學號 L16051019
學位類別 碩士
語文別 英文
論文頁數 53頁
口試委員 指導教授-蕭仁傑
口試委員-黃柏嶧
口試委員-賴青瑞
中文關鍵字 Weil猜想  zeta函數  橢圓曲線 
英文關鍵字 Weil conjecture  zeta function  elliptic curve 
學科別分類
中文摘要 在本論文中,我們將計算橢圓曲線的zeta函數,並證明橢圓曲線的Weil猜想。
當我們計算橢圓曲線E的zeta函數時,最重要的是在F_{q^s}上橢圓曲線點的個數。首先證明橢圓曲線上自同態的degree等於其核的個數。之後利用n-扭轉子群與Zn ⊕ Zn同構,我們將證明det(αn) ≡ deg(α) (mod n)。透過用Frobenius endomorphism代入前面所證明的結果,即可計算出橢圓曲線在不同體(F_{q^s})上點的個數。最後,我們將證明橢圓曲線的Weil猜想,並證明Z(q^{-k})可以用與Riemann zeta函數類似的方式定義。
英文摘要 For this thesis, we will compute the zeta functions and prove the Weil Conjecture for the elliptic curves.
While we compute the zeta functions of elliptic curves, it is important to determine the number of the points on E over F_{q^s} .
We will show that the degree of an endomorphism on E is equal to the number of its kernel. We consider the n-torsion subgroup, which is isomorphic to Zn ⊕ Zn. And we will show that det(α_n) ≡ deg(α) (mod n). Then we can determine the points on elliptic curves.
Finally, we will prove the Weil conjecture for elliptic curves, and show that Z(q^{−k}) can be defined in a similar way to the Riemann zeta function.
論文目次 1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.Points on Elliptic Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Weierstrass Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 The Group Law . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Endomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Torsion Subgroup and Weil Pairing . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Frobenius Endomorphism and Points Counting for Elliptic
Curves . . . 31
2.6 Division Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.Zeta Functions of Elliptic Curves . . . . . . . . . . . . . . 49
參考文獻 [1] N. Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, 2nd ed. Springer-Verlag. (1984), 109-114.

[2] L. C. Washington, Elliptic Curves : Number Theory and Cryptography, Chapman & Hall.(2003).

[3] J. H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer-Verlag. (1986).
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